Teoria quântica de campos e diagramas de Feynman

A teoria quântica de campos (TQC) é uma vertente da mecânica quântica-ciência que estuda moléculas, átomos e partículas subatômicas- que descreve o comportamento (inclusive interações) de partículas elementares. As partículas elementares são aquelas que não podem ser subdividias, ou seja, são unidades fundamentais, não sendo compostas por partículas menores. Apesar da descrição matemática da TQC ser extremamente rigorosa, seu conceito físico pode ser compreendido sem muita dificuldade.

Antes de adentrarmos propriamente na teoria quântica de campos devemos nos perguntar o que é um campo no contexto da física? De forma breve, um campo é uma entidade que permeia o espaço e associa a cada ponto deste um valor. Um campo pode evoluir/mudar com o tempo (sendo assim uma função com dependência espacial e temporal) ou pode permanecer estacionário (constante) conforme o tempo flui. No geral, campos podem ser classificados como escalares ou vetoriais. Campos escalares são aqueles que, para cada ponto no espaço, o campo apresentará uma quantidade escalar (número) como resposta; são exemplos os campos de temperatura, pressão e umidade (ver foto 2). Campos vetoriais são aqueles que, para cada ponto no espaço, um vetor, com módulo direção e sentido, será atribuído. Os exemplos mais recorrentes de campos vetoriais são os de força (ver foto 3). O ser humano não possui a sensibilidade para “visualizar” os campos propriamente, mas podemos inferir suas existências com efeitos que percebemos, como no caso de aproximarmos dois imãs, sendo que os campos magnéticos destes irão interagir de modo a gerar um efeito de atração ou repulsão (conforme for o arranjo dos polos dos imãs). Ainda, para o caso do campo magnético, podemos, de certa forma, visualizá-la com o uso de limalha de ferro (material ferromagnético), a qual irá ficar disposta conforme a forma do campo magnético em questão.

Para iniciarmos nossa discussão, nosso foco deve ser voltado para um tipo especial de campo, o campo eletromagnético, que é uma combinação de dois campos vetoriais: o campo elétrico e o campo magnético, perpendiculares entre si. O campo eletromagnético, por ser composto por dois campos vetoriais subjacentes, pode ser representado por um outro tipo de campo (diferenciando-se do escalar e do vetorial), sendo este o campo tensorial. Classicamente, o campo eletromagnético é gerado por cargas elétricas em movimento e interage com cargas e correntes elétricas.

Empossados das ideias-chave do que campos se tratam, podemos começar nossa discussão acerca da TQC. Não há somente uma única teoria quântica de campos, cada partícula elementar possui sua própria “versão” da teoria, mas os conceitos base são os mesmos. Qual foi a necessidade que levou ao desenvolvimento da primeira teoria quântica de campos? A mecânica quântica desenvolvida por Schrodinger, por meio de sua equação, possui certas limitações, como para os casos de sistemas com múltiplas partículas e partículas idênticas (como será explicado) e, portanto, uma nova vertente da teoria quântica foi requerida.

Foi o brilhante físico teórico Paul Dirac que, pioneiramente, aplicou, a partir dos pilares da mecânica quântica até então desenvolvida, os conceitos quânticos ao eletromagnetismo clássico (mais especificamente ao campo eletromagnético). Uma das principais diferenças entre a descrição prévia do mecanismo das partículas para a nova foi que, antes, as partículas eram descritas por estados (funções de onda) e eram “rastreadas” de forma individual (cada partícula era considerada), obtendo os respectivos observáveis, como momento e posição. Todavia, como partículas fundamentais (como os elétrons) são indistinguíveis entre si (não há como diferenciarmos dois elétrons, pois todas as propriedades intrínsecas são iguais), na contagem de partículas do sistema, há o risco de se contar duas vezes a mesma partícula- ou conjunto de partículas- já que não há diferença nenhuma entre as que compõe o sistema considerado (daí a ineficiência da equação de Schrodinger para sistemas multipartículas). Para o cálculo da probabilidade de interações entre partículas (as quais podem acontecer de diversas maneiras), é necessário saber a quantidade delas presentes no sistema e, com a contagem repetida, o valor obtido é incorreto, fornecendo assim as probabilidades erradas. Para a correção do problema, Dirac deixou de “rastrear” as partículas individualmente, deixando de quantizar as propriedades singulares de cada uma (como os já citados momento e posição); ao invés disso, o físico quantizou, isto é, parametrizou o próprio campo eletromagnético. Dessa forma, a matemática por trás dos cálculos mantém contato/rastreia o campo em si, e não mais as partículas/corpúsculos. A nova interpretação enxerga essas partículas como oscilações/perturbações no campo subjacente; tais oscilações, consequentemente, possuem propriedades como a frequência, momento e posição. Assim, a “contagem dupla” não é cometida e as propriedades mantêm-se. Dirac desenvolveu esse pensamento para o campo eletromagnético, sendo os fótons as partículas/oscilações correspondentes a tal campo. Tal formulação resultou na concepção da primeira teoria quântica de campos, a eletrodinâmica quântica (EDQ), a qual será explorada no futuro.

Essencialmente, os campos na TQC são pensados como sendo compostos por uma infinidade de osciladores harmônicos (“modes”), de modo que as oscilações, dotadas por uma frequência angular ω, propagadas por estes modes são as partículas em locomoção no campo. As suas propriedades físicas são descritas em função do comportamento do conjunto de osciladores (os quais podem ser pensados como espécies de molas), como a frequência e amplitude que estes oscilam. Ressalta-se o fato de o conjunto de osciladores constituir o campo em si e, portanto, este oscila com certa frequência e amplitude. Para o campo eletromagnético, as oscilações correspondem aos fótons (luz). O comportamento dos modes eletromagnéticos como osciladores harmônicos pode ser provado conforme as fotos 4,5,6 7 e 8.

Em termos mais avançados, tomamos o hamiltoniano (operador correspondente à energia total do sistema) do campo, derivando-o para o mode eletromagnético. O resultado é a obtenção de um hamiltoniano idêntico ao do oscilador harmônico quântico, o que resulta na mesma expressão para a energia de um estado com n fótons (ver foto 9, sendo λ a especificação do mode).

Um dos conceitos primários da mecânica quântica é o principio da incerteza de Heisenberg, o qual postula que, fundamentalmente, não se pode saber de certas quantias simultaneamente, sempre haverá uma relação de incerteza entre elas de modo que, quanto mais se sabe de uma menos se sabe da outra. Em termos técnicos, as quantias com relação de incerteza correspondem aos operadores dotados de relações de comutação que devolvem um resultado diferente de 0 (conforme ilustra a foto 10). Voltemos nossa atenção novamente à definição de mode. Pense, dentro de uma analogia, no oscilador harmônico/mode como um pêndulo, o qual irá oscilar (caso não esteja em repouso) em torno de sua posição de equilíbrio com determinada frequência. Todavia, pelo fato de nosso pêndulo ser “quântico” este deve obedecer ao princípio da incerteza e uma das formulações deste diz que não se pode saber, simultaneamente, a posição e momento de uma partícula. Isso implica que nosso pêndulo nunca poderá ficar em repouso, caso contrário ele mostrará posição e momento definidos (posição de repouso e velocidade nula). Assim, o pêndulo estará sempre oscilando, mesmo que com amplitude de oscilação e frequência baixas. Lembre-se de que os pêndulos representam os osciladores harmônicos do campo. Usualmente o vácuo é definido como ausência de matéria. Porém, a quantização do campo eletromagnético traz implicações interessantíssimas que mudam totalmente nossa concepção de vácuo. A ausência de partículas no campo faz com que este encontre-se em seu menor estado de energia (menor frequência); porém, dado o princípio da incerteza, mesmo sem a presença de oscilação no campo os modes deste não podem estar em repouso, resultando em inúmeras oscilações de baixa energia. Outro modo (mais direto) de se pensar faz-se ao associarmos a outra forma do princípio da incerteza, o que relaciona as incertezas entre a energia e o tempo, indicando que, para intervalos de tempo infinitesimais, quantidades de energia (partículas) podem “surgir” essencialmente do nada e logo desaparecem, devolvendo a energia aparentemente criada (portanto o princípio de conservação de energia é preservado a longo prazo). Essas oscilações a partir do vazio são chamadas de flutuações quânticas de vácuo. O estado sem fótons de um mode pode ser visto na foto 11.

Outro fator que difere a formulação prévia de Schrodinger da descrição da teoria de campos é o mecanismo de criação e destruição de partículas, ausente na versão de Schrodinger. Uma exemplificação prática dessa nova descrição é a situação em que um elétron e um pósitron (anti-partícula) podem, em um encontro, aniquilarem-se, resultando em uma liberação de energia na forma de fótons. Para tal descrição, é feito o uso dos operadores de construção e destruição (presentes na 11), os quais possuem muitas propriedades interessante a exemplo de uma operação a qual devolve o número de partículas presente no estado (ver foto 12).

Assim como na química, na qual elementos/moléculas interagem entre si, partículas subatômicas também a fazem, por intermédio de partículas chamadas de bósons. Existem 5 tipos “gerais” de bósons: fótons, glúons (os quais possuem 8 tipos), bóson Z, bóson W (possuindo 2 vertentes o W^+ e o W^- ) e o bóson de Higgs. Os bósons são partículas transmissoras de força, sendo assim os responsáveis por intermediar as forças fundamentais da natureza (força nuclear forte, força nuclear fraca e eletromagnética), com exceção da gravidade, cuja teoria quântica unificadora ainda não foi obtida efetivamente. O mecanismo de interação na TQC ocorre conforme a interação entre os campos subjacentes por meio dos bósons. De forma simplificada, os bósons são emitidos por uma partícula, atingem outra entregando assim seu “impacto”. Para o caso do campo eletromagnético, cujo bóson correspondente é o fóton, como haverá “impacto” se o fóton é uma partícula sem massa? A resposta pode ser obtida usando a relação de Louis de Broglie , a qual associa momento (p) à fótons conforme a foto 13. Mantenha em mente que os bósons também possuem campos associados, sendo oscilações destes.

Na TQC, partículas podem ter um grau de liberdade infinito, o que significa que um estado não pode ser descrito completamente com variáveis finitas, mas sim infinitas. Campos possuem infinitos pontos de posição e, como na TQC trabalhamos com essas entidades, logo as infinitudes começam a aparecer em situações as quais esperava-se obter valores finitos; logo os físicos perceberam que precisavam “ajustar” a matemática envolvida de alguma forma. A forma encontrada para resolver (mesmo que não fundamentalmente) o problema foi o desenvolvimento de uma série de métodos voltados a “remover” os infinitos obtidos, vindo a ser chamada de renormalização.

Dada a natureza técnica complicada e dificilmente visualizável, o brilhante físico teórico Richard Feynman desenvolveu uma série de diagramas os quais tinham a intenção de ilustrar com muita simplicidade o que ocorria em complicadas descrições matemáticas para a descrição de interações entre partículas. Na foto 14 podemos ver um dos diagramas mais simples, sendo que este representa a repulsão entre dois elétrons, por meio do “surgimento” de um fóton virtual (bóson responsável pela transmissão da força eletromagnética). Note que no diagrama apresentado o tempo transcorre na vertical, de baixo para cima.

Ainda, podemos ressaltar os fatos de a teoria quântica de campos ser compatível com a relatividade especial e de ser tão precisa que consegue prever, até mesmo, as pequenas separações de energia dos elétrons em átomos, proveniente do desvio de Lamb.

Por fim, o modelo capaz de descrever o comportamento e interação de todas a partículas elementares ganha o nome de “modelo padrão”, sendo o mecanismo regente da física de partículas. Os pilares do modelo padrão são frequentemente levados ao limite no LHC (large hadron collider), acelerador de partículas presente na fronteira entre a Suíça e França. Posteriormente serão publicados artigos sobre QED (quantum electrodynamics) e QCD (quantum chromodynamics).

Foto 1: capa

Foto 2: campo escalar

Foto 3: campo vetorial

Foto 4-8: demonstração/ prova do comportamento de oscilador harmônico para o mode eletromagnético

Foto 9: energia de um oscilador harmônico

Foto 10: relação de comutação para operadores que não comutam entre si

Foto 11: estado para zero fótons

Foto 12: operador de número

Foto 13: relação de momento de Louis de Broglie

Foto 14: diagrama de Feynman

Material de referência:

Quantum mechanics for scientits and engineers (David A. B. Miller)

Mecânica quântica moderna (J.J. Sakurai e Jim Napolitano)

50 ideias de física quântica que você precisa conhecer (Joanne Baker)

Quantum Field Theory (Frank Wilczek)

Teoria quântica uma breve introdução (John Polkinghorne)