Radiação Hawking em Buracos Negros

A chamada radiação Hawking, proposta pelo físico inglês Stephen Hawking em 1975, propõe uma combinação improvável: a relatividade com a quântica. Hawking supôs que nas imediações de um buraco negro, cuja teoria vigente é a relatividade geral, partículas subatômicas, regidas pelas leis da teoria quântica, teriam um efeito sobre o buraco negro de modo a reduzir sua massa, fazendo com que ele, ao decorrer do tempo, desaparecesse. Tal efeito ficou conhecido como “evaporação”. Apesar da radiação Hawking poder ser desenvolvida de forma teórica, a descrição física (isto é, o processo real) em si não é muito bem compreendida. Serão abordadas aqui duas versões, uma mais simples e intuitiva (com descrição matemática) e a outra a dada pelo próprio Stephen Hawking. Todavia, apesar da explicação do fenômeno físico não ser idêntica, os resultados fornecidos são os mesmos.

Como descrito em capítulos anteriores, buracos negros são compostos por uma singularidade (ponto de densidade infinita em que as leis da ciência atualmente falham) e apresentam horizonte de eventos, sendo estes a localizados a uma certa distância da singularidade, dada pelo raio de Schwarzschild (foto 2). É importante ressaltar que o horizonte de eventos não é uma superfície física, mas sim a delimitação de uma fronteira a partir da qual nada, nem mesmo a luz, consegue escapar de ser consumida pelo buraco negro (isso deve-se ao fato de que, a partir do horizonte de eventos, a velocidade de escape (definida nas fotos 3 e 4) necessária torna-se superior à da luz, conforme mostra a foto 5. *Nota: o emprego da fórmula do raio de Schwarzschild é correto para buracos negros estáticos (sem rotação). Para casos de buracos negros com rotação, métodos mais sofisticados são necessários.

Além de buracos negros formados por colapsos de estrelas, há buracos negros hipotéticos (ainda não foram detectados) de tamanho extremamente pequeno, cuja formação especula-se que foi dada no início do universo, devido a flutuações de densidade. A estes buracos negros é agregado o nome de “buracos negros primordiais”. Considerando um buraco negro com raio Schwarzschild aproximadamente igual ao raio de um núcleo atômico (~10^-15 m) a massa (calculada na foto 6) é da ordem de 10^12 kg. Com o tamanho de uma partícula e a massa de uma montanha, uma questão surge: qual teoria utilizar para descrever estes buracos negros, a teoria do grande (relatividade) ou a teoria do pequeno (quântica)? Hawking demonstrou que é necessário conciliar conceitos de ambas, de forma que os cálculos do físico indicaram que o buraco negro deveria emitir um tipo de radiação térmica (radiação Hawking). Indo contra os princípios estabelecidos que afirmam que nada pode escapar de buracos negros, Stephen Hawking demonstrou que tais corpos são capazes de emitir radiação o que, por consequência, implica que também possuem uma temperatura e um grau de entropia (sendo esta última, resumidamente, o nível de desordem de um sistema).

Antes de adentrarmos na radiação Hawking em si, é fundamental que entendamos o conceito de radiação de um corpo qualquer. A termodinâmica nos diz que qualquer objeto com temperatura irá exibir um espectro de radiação de corpo negro. Quando aquecemos um objeto, aumentamos a energia cinética (e, portanto, a energia térmica) das partículas deste. Essa energia é então convertida em energia eletromagnética e emitida na forma de fótons (ondas eletromagnéticas), os quais caracterizam o processo de radiação. O espectro de radiação é a distribuição da intensidade da radiação em função do comprimento de onda dos fótons emitidos pelo corpo irradiante (conforme mostra a foto 7, sendo S(λ) a intensidade da radiação). Corpos negros são objetos ideais os quais absorvem qualquer forma de radiação neles incidida e, em seguida, emitem radiação por todo o espectro de radiação, isto é, para diversos comprimentos de onda.

No início do século XX, o físico Max Planck estudou a radiação de corpos negros, de modo a associar a intensidade luminosa com os “quanta” de luz, conforme a relação E=h*f. A retomada destes conceitos é de suma importância porque buracos negros exibem um espectro de radiação de corpo negro, sendo ainda notavelmente idealizada, uma vez que buracos negros absorvem qualquer coisa (incluindo radiação) que neles é incidida. Artigos dedicados sobre Max Planck já foram publicados na página e no site do jovens na ciência.

Tendo entendido o processo geral da radiação termal, podemos prosseguir para a radiação Hawking. A descrição a seguir, encontrada no artigo The Hawking temperature, the uncertainty principle and quantum black holes, de Jorge Pinochet, traz um olhar mais intuitivo e não rigoroso para a radiação de buracos negros, mesmo sendo uma descrição física distinta da fornecida por Hawking. Para início, consideremos os mencionados buracos negros quânticos. Sabemos que o princípio da incerteza é dado por ∆x∆p≥ℏ/2 (como mostrado em artigos anteriores). Podemos o reescrever conforme a foto 8, de modo a obtermos ∆v≥ℏ/(2m∆x). Um elétron dentro de um buraco negro quântico possui uma incerteza pequena em sua posição (também mostrado na foto 8), dado o tamanho diminuto do buraco negro. Supomos que a incerteza na posição seja da ordem de 10^-15 metros. Considerando que a massa do elétron é de, aproximadamente, 10^-30 kg, obtemos uma incerteza na velocidade de, aproximadamente, 3*10^17 (uma incerteza extremamente alta, como esperado pelo princípio da incerteza de Heisenberg). Com ∆v>c observamos que a incerteza na velocidade do elétron é maior do que a própria velocidade da luz, implicando uma velocidade de escape suficiente para o elétron “escapar” do buraco negro. Ao sair do buraco negro, o elétron está levando sua massa consigo, e, portanto, a massa do buraco negro é diminuída. A continuidade deste processo caracterizaria a emissão da radiação Hawking. O que acabamos de concluir aparentemente infere na violação da mecânica relativística, a qual diz que nenhuma partícula pode viajar com uma velocidade igual ou maior do que a da luz. Todavia, por estarmos dentro do prospecto da incerteza, não podemos medir/observar uma partícula efetivamente viajando mais rápido do que a velocidade da luz. Podemos ainda analisar a situação sobre outra óptica, em termos do fenômeno de tunelamento quântico (discutido no artigo da equação de Schrödinger). No tunelamento quântico, uma partícula, como o elétron, pode ultrapassar/penetrar uma barreira de potencial mesmo sem ter a energia suficiente para fazê-lo, o que, em nosso caso, traduz-se que há a possibilidade de o elétron escapar do buraco negro. A derivação simples da fórmula da temperatura Hawking e a entropia do buraco negro, segundo a abordagem apresentada, encontram-se nas fotos 9, 10 e 11). Analisando T=(ℏc^3)/(8πkGM) podemos chegar a algumas conclusões: quanto maior (mais massivo) for um buraco negro menor sua temperatura (o que implica na emissão de radiação de espectro de corpo negro menos energética). Cálculos para a temperatura de buracos negros quânticos e supermassivos encontram-se na foto 12. Como pode ser observado nos cálculos realizados, a radiação de buracos negros de grande massa é negligenciável, pois a taxa de emissão de radiação é extremamente pequena, ao mesmo tempo que é fácil para o buraco negro adquirir massa extra por mecanismos como a acreção, o que desbancaria o “progresso” de redução de massa por parte da radiação Hawking. Podemos também notar que, conforme o buraco negro emite radiação, sua massa é reduzida progressivamente, de modo que quanto mais ele perde massa mais radiação ele emite (a radiação Hawking vai ficando mais substancial). Buracos negros levam um tempo extremamente extenso para evaporar (quanto maior mais demora), sendo que um buraco negro com a massa do Sol levaria 10^67 anos enquanto um com a massa do Sagittarius A* (buraco negro supermassivo no centro da Via-Láctea) levaria em torno de 10^87 anos. Ainda, um buraco negro do tamanho de um próton levaria cerca de 10^13 anos para evaporar por completo (tenha em mente que a idade do universo é da ordem de 10^10 anos). Apesar de todas as conclusões fornecidas, a equação para a temperatura de um buraco negro possui um limite, sendo este a massa de Planck, dada por m_Planck=√(ℏc/G)≅10^(-8) kg. Mas o que acontece quando os efeitos da radiação Hawking trouxerem a massa do buraco negro para até depois de tal limite de massa? A resposta é: não sabemos com certeza. Todavia, Hawking acreditava fortemente que o buraco negro simplesmente desapareceria. É neste ponto que surge o “paradoxo da informação” o qual será discutido posteriormente.

Conforme evapora, o buraco negro vai reduzindo gradualmente seu tamanho, isto é, a distância entre a singularidade e o horizonte de eventos vai se encurtando. O processo de encolhimento do buraco negro pode ser melhor compreendido ao nos atentarmos na relatividade geral. Einstein, nesta teoria, criou uma série de equações (10 no total) resumidas a uma única, dada as possíveis diferentes combinações de dimensões nos objetos matemáticos denominados tensores. Tais equações ficaram conhecidas como “equações de campo” (foto 13). É sabido da relatividade geral que tanto a massa quanto a energia fazem com que o espaço se curve. Ainda, o elemento T_μν nas equações de campo é o chamado tensor de estresse-energia, o qual é alterado quando há a redução de massa provocada pela radiação Hawking. Como a energia e/ou massa modificam a curvatura do espaço, a alteração no tensor de estresse-energia causará, por consequência, um tipo de alteração na geometria do espaço, sendo que, em nosso caso, será o encolhimento do buraco negro em si.

Apresentaremos agora a descrição de Hawking da radiação Hawking. O vácuo não é exatamente vazio, já vez que, por conta do princípio da incerteza, existem as flutuações quânticas de vácuo, as quais fazem com que pares de partícula e antipartícula se materializem espontaneamente (a partir do nada) se separem, se juntem novamente, aniquilando-se, para que assim não haja violação na lei da conservação de energia (este fenômeno ocorre em curtos intervalos de tempo). Tal processo ocorre por todo o espaço, inclusive nas fronteiras de um buraco negro. Caso uma das partículas caia no buraco negro (isto é, para além do horizonte de eventos), a outra partícula não mais irá aniquilar-se com sua parceira, sendo agora livre ou para escapar das proximidades do buraco negro ou para também cair no buraco negro. A partir deste ponto podemos levantar diversas interpretações equivalentes. Podemos entender a perda de massa do buraco negro considerando que a partícula que primeiro caiu no buraco negro possuía energia negativa, ou sendo que a partícula que “escapou” do buraco negro o fez às custas da energia fornecida pelo próprio buraco negro, novamente, seguindo E=mc^2, de modo que não haja violação da lei de conservação de energia (o buraco negro fornece a energia necessária a partícula por meio de sua massa segundo a equivalência massa-energia mencionada). Neste caso, para um observador distante, a partícula escapando parceria ter sido emitida pelo próprio buraco negro. Novamente ressalta-se: não há um consenso sobre o processo físico em si, mas as múltiplas interpretações são equivalentes.

Um dos fatores que impediu que Stephen Hawking fosse agraciado com um prêmio Nobel foi a difícil tarefa de detectar a radiação Hawking. Isso porque, como foi dissertado, a radiação Hawking é muito sucinta, tornando a detecção por equipamentos na Terra praticamente impossível. Soma-se ainda o fato de a radiação de fundo em micro-ondas contribuir para “mascarar” /esconder o espectro térmico emitido pelos buracos negros, uma vez que a radiação de fundo cobre todo o espaço por uma temperatura característica praticamente uniforme de 2.7 Kelvin. Todavia, em 2019 cientistas de Israel foram capazes de conduzir um experimento análogo à radiação Hawking, no qual obtiveram resultados prescritos por previsões feitas a partir dos estudos de Stephen Hawking (há um artigo sobre este experimento na página e no site, intitulado “buracos negros sônicos”).

Em uma analogia final, a radiação Hawking seria algo como se a

pérola pudesse emitir calor para fora da ostra. Dessa forma, concluímos que, apesar de buracos negros serem dotados de um mistério integro, eles, nas próprias palavras de Stephen Hawking, não são tão negros.

Foto 1: Gargantua, buraco negro do filme Interestelar Foto 2: Raio de Schwarzschild Fotos 3 e 4: Derivação da velocidade de escape Foto 5: Velocidade de escape para buracos negros Foto 6: Cálculo da massa segundo o raio de Schwarzschild de um buraco negro quântico Foto 7: Espectro de radiação de um corpo negro Foto 8: Implicações do princípio da incerteza Fotos 9, 10 e 11: Derivação das fórmulas para a temperatura e entropia de buracos negros Foto 12: Cálculo da temperatura de buracos negros Foto 13: Equações de campo de Einstein

Material de referência: Black Holes, Hawking Radiation, and the Firewall (Noah Miller) The Hawking temperature, the uncertainty principle and quantum black holes (Jorge Pinochet) O universo numa casca de noz (Stephen Hawking) Uma breve história do tempo (Stephen Hawking) Buracos Negros (Stephen Hawking) 50 ideias de física quântica que você precisa conhecer (Joanne Baker) Origens (Neil deGrasse Tyson) Física para cientistas e engenheiros volume II (John W. Jewett e Raymond A. Serway)

Confira também o vídeo do PBS Space-time: https://www.youtube.com/watch?v=qPKj0YnKANw