Princípio da incerteza de Heisenberg

O princípio da incerteza de Heisenberg é um dos pilares da mecânica quântica. É em função dele que muito dos fenômenos peculiares e exclusivos da quântica acontecem. Um dos aspectos que reside no coração do princípio da incerteza é a questão probabilística da mecânica quântica, cuja incidência incomodava profundamente Einstein e desafiava o determinismo.

Em 1926, o jovem Werner Heisenberg encontrava-se em um estado de nervos com Erwin Schrödinger, já que, neste ano, Schrödinger, com a publicação de sua formulação da mecânica quântica (com a famosa equação de Schrödinger), havia “roubado” a atenção da comunidade cientifica, a qual anteriormente estava canalizada na mecânica matricial de Heisenberg (apesar das duas abordagens serem equivalentes).

Após as duas formulações terem sido estabelecidas, a ciência da quântica teve uma rápida evolução, com o envolvimento de cientistas como Paul Dirac e Pascual Jordan. Em 1927 Heisenberg estava debruçado sobre o que se havia estabelecido na mecânica quântica. Foi neste período que o físico notou que partículas na escala atômica mantém segredos inacessíveis.

Para o início da discussão do principio da incerteza é importante entender que, para se observar uma partícula (como um elétron), o ato de medição irá perturbar o estado do elétron. Para que se possa detectar a partícula, é necessário incidir sobre ela alguma forma de radiação (como fótons, por exemplo). Ao atingirem o elétron, os fótons transferem seu momento linear, de modo a atuarem como uma “bala” impactando o elétron. O sistema foi então alterado de seu estado inicial somente pela ação da medição. Há, porém, uma forma aparente de se minimizar o efeito da perturbação: basta utilizar fótons de comprimentos de onda maiores os quais, como observa-se nas relações p=h/λ e E=p*c, possuem energia menor e, portanto, alteram menos o estado do elétron. Todavia, ao se utilizar comprimentos de onda maiores, a precisão da medição da posição do elétron será diminuída, conforme mostra a foto 2. Este é o chamado “efeito do observador”. Todavia, o princípio da incerteza não se limita a tal efeito.

É natural que se questione se há alguma forma de se aperfeiçoar um experimento de modo que não haja alteração significativa no estado inicial do elétron e que a medição da posição deste não seja comprometida. Infelizmente não. Parece haver um limite fundamental no quão fundo podemos entender a estrutura do universo. Dessa forma, podemos ver a consequência do enunciado geral do princípio da incerteza de Heisenberg: não é possível desenvolver um experimento no qual se meça tanto a posição quanto o momento de uma partícula com precisão arbitrária, sempre haverá uma relação de incerteza associada a estas duas quantias.

O princípio da incerteza é mais fundamental do que se possa pensar. O fato de quantias como o momento e a posição não poderem ser conhecidas simultaneamente não ocorre devido a inexperiência do experimentalista, nem pela falta de um experimento mais criativo. É uma questão inerente da natureza. Para ilustrar, consideremos o seguinte experimento: imagine uma fenda, um emissor de elétrons e uma parede atrás da fenda. Começamos o experimento com o tamanho da fenda algumas vezes maior do que o do elétron. Conforme os elétrons passam pela fenda, eles atingem a parede conforme o quadrado de sua função de onda indica (sendo o ponto na parede em frente a fenda o local de maior probabilidade de os elétrons serem atingidos). Caso o tamanho da fenda seja gradualmente diminuído, a distribuição dos elétrons na parede será, surpreendentemente, espalhada (ao invés de ficar ainda mais estreita/definida, como se esperaria intuitivamente). O que acontece é que, conforme diminuímos o tamanho da fenda, diminuímos a incerteza da posição (obtemos mais informação sobre) e, consequentemente, aumentamos a incerteza do momento da partícula. Dessa forma, a partícula poderá mudar de direção, dado o aumento da incerteza da sua velocidade, já que o momento linear é definido como p ⃗=mv ⃗. Conclui-se que, mesmo sem a interação com a partícula (nenhuma forma de radiação foi incidida sobre os elétrons), o princípio da incerteza se manteve. Reforçamos a ideia: o princípio da incerteza de Heisenberg é uma propriedade fundamental da natureza e existe independentemente do ato de medição.

Para uma melhor visualização do princípio da incerteza consideremos algumas funções de onda (função que descreve o estado da partícula). Uma função de onda espalhada (como na forma ψ(x)=Acos(kx)+Bsin(kx)) apresentará uma incerteza arbitrariamente grande em sua posição mas um momento precisamente definido, já que o comprimento de onda é conhecido e a relação de Louis de Broglie diz que p=h/λ. Caso tivéssemos uma função de onda semelhante ao delta de Dirac (cuja forma é definida somente em um ponto, sendo nulo em todo o resto) esta possuiria uma incerteza arbitrariamente pequena na posição, porém seu momento seria desconhecido (dada a ausência do comprimento de onda). Há, porém, uma forma mais palpável da função de onda, com um maior sentido físico, chamada de “pacote de onda”. Um pacote de onda é uma superposição de diversas ondas da forma ψ(x)=Acos(kx)+Bsin(kx) com diferentes valores de k (módulo dos vetores de onda), de modo que a interferência (adição) destas ondas se anulam em certos pontos e se reforçam em outros (há tanto interferência construtiva quanto destrutiva) de modo a gerar uma única nova onda a qual é espalhada em uma região limitada do espaço (possui certa incerteza em sua posição) e também possui um momento com certa incerteza associada (uma vez que seu comprimento de onda não é precisamente conhecido). A representação das três funções de onda mencionadas encontra-se na foto 3.

Matematicamente, o princípio da incerteza é definido por ∆x∆p_x≥ℏ/2 (sendo∆x a incerteza da posição, ∆p_x a incerteza da componente x do momento e ℏ a chamada “constante de Planck reduzida”, cujo valor é h/2). A relação acima é explorada nas fotos 4, 5 e 6.

Há implicações posteriores do princípio da incerteza. O momento e a posição não são as únicas quantias que apresentam relação de incerteza. A energia e o tempo também apresentam tal relação, de modo que, quanto mais precisamente sabe-se da energia medida menos precisamente sabe-se do tempo transcorrido durante o ato de medição (e vice-versa). Uma das principais consequências desta relação são as flutuações quânticas de vácuo. Segundo o princípio da incerteza nenhum sistema, nem mesmo o vácuo, pode ter energia absolutamente igual a zero. Há sempre uma incerteza em relação a energia. Isso implica que, por curtos períodos de tempo, pares de partículas, chamadas de “partículas virtuais” podem passar a existir e, depois de um tempo, aniquilam-se (obedecendo, a longo prazo, o princípio da conservação de energia). Em suma, a incerteza é capaz de criar partículas espontaneamente. Tal fenômeno é responsável pelo efeito Casimir (já discutido na página) e, também, pela radiação Hawking. Matematicamente a relação é definida por ∆E∆t≥ℏ/2. *Nota: mais formalmente, na teoria quântica de campos, ao quantizarmos o campo eletromagnético, vemos que o estado sem partículas (vácuo) possui uma amplitude não nula, conforme esperado pela relação de incerteza entre energia e tempo.

Por fim, é relevante destacar a forma a qual o princípio da incerteza é tomado na literatura da mecânica quântica. De forma mais rigorosa, definimos relações de incerteza como operadores que não comutam, isto é, o comutador é diferente de zero (há resto de comutação). Exemplificando, para o caso entre o momento e a posição, tem-se que

[x, p_x]=x*p_x-p_x*x=iℏ (sendo que optamos por omitir o operador identidade I ̂ na relação apresentada), sendo essa uma das relações de comutação canônicas. Ainda, as propriedades de comutação da quântica (e suas respectivas relações de incerteza) regem diversos princípios e comportamentos da quântica, a exemplo do momento angular orbital.

A demonstração matemática do princípio da incerteza encontra-se nas fotos 7, 8, 9, 10 e 11, e foi baseada no excelente material do professor David A.B. Miller, da universidade de Stanford.

Foto 1: Werner Heisenberg Foto 2: efeitos da radiação no elétron Foto 3: algumas funções de onda e suas relações com o princípio da incerteza (fotos obtidas do aplicativo "Quantum") Fotos 4, 5 e 6: aplicação do princípio da incerteza no modelo atômico de Bohr Fotos 7, 8, 9, 10 e 11: demonstração do princípio da incerteza

Material de referência: Quantum mechanics for scientists and engineers (professor David. A.B. Miller) (special thanks) Mecânica quântica moderna (Jim Napolitano e J.J. Sakurai) O universo quântico (Brian Cox e Jeff Forshaw) 50 ideias de física quântica que você precisa conhecer (Joanne Baker) Física em 12 lições fáceis e não tão fáceis (Richard P. Feynman) Física para cientistas e engenheiros volume 3 (Paul A. Tipler e Gene Mosca)