Equação de Schrödinger

Para a leitura desse artigo, recomendo que acompanhem as equações e as folhas enumeradas nas fotos desta publicação. Com base em nosso conhecimento, podemos utilizar a teoria ondulatória clássica para descrevermos ondas quaisquer-sejam ondas em uma corda ou até mesmo ondas eletromagnéticas. A partir da equação de onda (equação 1), uma equação diferencial de segunda ordem e linear, com derivadas em relação à posição e ao tempo, podemos encontrar as soluções que correspondem à descrição do sistema ondulatório em questão (como mostrado de forma genérica na equação 2, na qual A é a amplitude da onda k é o número de onda, x é a posição, ω é a frequência angular e t é o tempo). Em outras palavras, a solução da equação citada descreve o comportamento da onda em uma posição x e em um tempo t. A equação 1 pode ser estendida para o caso tridimensional (equação 3, escrita com o uso do Laplaciano), com possível solução exponencial (equação 4). O número de onda k basicamente nos diz quantos comprimentos de onda cabem em um intervalo de 2π. Na equação 3, K é o vetor de onda, com direção e sentido iguais ao da propagação da onda e com módulo/magnitude sendo o número de onda k. Ondas podem encontrar-se, como ocorre no caso da difração do experimento da fenda dupla, de modo a ocorrer o fenômeno de interferência (as amplitudes das ondas são somadas). Se temos uma solução da equação de onda com vetor de onda K1 e outra com vetor de onda K2, é possível que a solução com vetor de onda K3= K1+ K2 seja válida, devido à linearidade da equação de onda. O que é linearidade? Uma equação diferencial (equação escrita em termos de taxas de variações/derivadas) é dita ser linear quando somas de soluções também constituem soluções válidas, de modo a demonstrar assim um padrão de interferência, no sentido físico, no caso das ondas (temos, por exemplo, uma nova onda com vetor de onda K3, formada a partir das soluções das ondas com vetor de onda K1 e K2).

Empossados da teoria ondulatória clássica, somos capazes de resolver quaisquer problemas físicos convencionais. É possível prevermos, com precisão, o comportamento de sistemas ondulatórios, tais como ondas sonoras, eletromagnéticas, em superfícies de líquidos, etc. Contudo, com o advento da mecânica quântica, foi demonstrado que a descrição clássica não era o suficiente para descrever o comportamento elementar da matéria. O físico alemão Max Planck publicou em 1900 sua teoria dos quanta de luz, na qual explicava a radiação de corpos negros, sendo que a energia vinha em quantias definidas pela equação 5, onde h é a constante de Planck e f é a frequência do fóton de luz. Planck deu origem ao desenvolvimento da mecânica quântica, sendo que, alguns anos depois, Louis de Broglie publicou a chamada “hipótese de de Broglie” na qual defendia o comportamento dual onda-partícula, relacionando o momento linear (p=mv) com o comprimento de onda λ, conforme a equação 6.

Com a evolução da teoria quântica, uma equação foi desenvolvida afim de descrever sistemas quânticos (sejam eles partículas livres, átomos simples, etc.). O responsável pela formulação de tal equação foi o físico austríaco Erwin Schrödinger o qual, no ano de 1926, publicou-a. Sua equação é muito peculiar e não pode ser obtida a partir de quaisquer outros princípios básicos, portanto, foi postulada pelo cientista, sendo embasada em conhecimentos prévios da analogia entre óptica e mecânica, de William Rowan Hamilton, bem como na hipótese de Louis de Broglie. Há diversas frases de cientistas famosos que ilustram a não trivialidade/elementaridade da equação, como a de Richard Feynman: “De onde conseguimos essa equação? De lugar nenhum. Não é possível deriva-la de qualquer coisa que conheçamos. Ela veio da mente de Schrödinger”. Na mecânica clássica um sistema é convencionalmente descrito segundo as leis da dinâmica de Newton, enquanto que, na teoria quântica, a descrição dos sistemas dá-se por meio da equação de Schrödinger.

A equação de Schrödinger (equação 7) é, assim como a equação clássica de onda, uma equação diferencial linear e de segunda ordem, sendo que ℏ é a constante de Planck dividia por 2π (h/2π), m é a massa da partícula, V(x) é a função potencial e E é a energia. O primeiro termo do lado esquerdo da equação representa a energia cinética da partícula e o segundo representa a energia potencial, portanto, E (lado direito da equação) é a energia total do sistema. A equação 7 é conhecida como equação de Schrödinger independente do tempo. O fato de a equação referente ser linear desabrocha em um dos pilares da mecânica quântica, que é o princípio da superposição quântica. Soluções da equação de Schrödinger podem ser somadas, com seus respectivos coeficientes (equação 8), de modo a formarem outra possível solução. Fisicamente isso significa que o sistema está em uma sobreposição de estados (não está em nenhum estado em específico) mas, caso haja uma medição, o sistema irá, aleatoriamente, “escolher” um dos possíveis estados para ser o resultado da medição/observação. A probabilidade para que o sistema “desabroche” em um estado específico é dada pelo quadrado do coeficiente do estado referente (equação 9). Exemplificando: caso Ѱ1 e Ѱ2 sejam possíveis soluções da equação de Schrödinger, é possível que a soma entre estas também seja uma possível solução (dada a linearidade da equação diferencial).

Schrödinger desenvolveu sua equação, mas, como todos os cientistas da época, não sabia qual era o significado físico de Ѱ. Acontece que, até os dias de hoje, ninguém sabe a interpretação física para as soluções da equação de Schrödinger, as quais são chamadas de funções de onda. Porém, em 1926, o cientista Max Born postulou a chamada “regra de Born” que agregava significado ao quadrado do modulo da função de onda, sendo que este representa a densidade probabilística para um dado sistema. A equação de Schrödinger é vista como um tipo de equação de onda, guardando relação com a dualidade onda-partícula. Contudo, devemos prestar atenção à certas armadilhas de pensamento. A “onda” representada pela função de onda não deve ser vista como a distribuição espacial de carga da partícula, mas sim como uma distribuição de probabilidade, de modo a que, quando medições são feitas, a partícula devolva resultados coerente com à probabilidade fornecida pelo quadrado do módulo da função de onda. Diversas interpretações acerca do significado da função de onda em si (e não do módulo de seu quadrado) foram propostas, a exemplo da teoria da onda piloto de David Bohm e da teoria de muitos mundos de Hugh Everett (sendo que esta aborda um contexto de multiverso), porém, é impossível dizer se alguma está correta. É destacável também o fato de a função de onda representar tudo o que se pode saber sobre um determinado sistema quântico.

A mecânica quântica é, na maior parte das vezes, escrita na forma de álgebra linear, com o uso de operadores. Operadores são utilizados na física para representarem entidades que atuam sobre um determinado estado físico, em um certo espaço, de modo a devolver outro estado físico, dentro do mesmo espaço de estados. Matematicamente, operadores são funções, muito comumente escritos em forma de matrizes. Na mecânica quântica há tipos especiais de operadores, chamados operadores hermitianos, os quais representam quantias mensuráveis/observáveis (capazes de serem medidas, a exemplo da posição e momento). Os operadores hermitianos, ao atuarem sobre um estado de certo sistema físico, devolvem um número real, chamado de autovalor. É importante compreender esses conceitos-chave para que se possa haver sucesso na leitura de literaturas envolvendo a mecânica quântica.

É muito comum encontrarmos a equação de Schrödinger escrita como na equação 9, onde ∇^2 é o chamado Laplaciano, operador referente à taxa de variação com respeito às variáveis do sistema de coordenadas adotado (seja ele o cartesiano, cilíndrico ou esférico).

Grande parte das obras sobre mecânica quântica são escritas na notação de Dirac (também chamada de notação “bra-ket”), uma forma elegante e vantajosa de se desenvolver cálculos. A notação de Dirac possui algo como uma “álgebra própria”, com simplificações que se tornam simples devido às condições de ortonormalidade (as quais serão discutidas em artigos posteriores). A notação de Dirac é embasada em álgebra linear, sendo que as funções de onda são representadas como vetores de estado do sistema, conforme mostra a equação 10. A equação 10 é a equação de Schrödinger, escrita na notação de Dirac, sendo H o hamiltoniano, operador que representa a energia total do sistema.

Munidos da equação de Schrödinger, somos capazes de resolver diversos tipos de problemas, a partir de modelos que serão citados a seguir. A aplicação mais simples da equação de Schrödinger é para o caso de uma partícula livre, o que significa que a função potencial é 0 (V(x)=0) e, portanto, o hamiltoniano do sistema possuirá apenas a porção da equação equivalente à energia cinética da partícula. Com isso, basta resolver a equação diferencial (página 1) para obter-se a solução. A solução convencional da equação de Schrödinger pode ser escrita, equivalentemente, na forma de exponencial (ver página 2). Para casos os quais a função potencial não é nula, as soluções tomaram formas diferentes, como será mostrado.

Além da versão da equação de Schrödinger independente do tempo, temos também a versão dependente do tempo, com o acréscimo do fator temporal. Podemos obter tal versão da equação pela multiplicação do fator exponencial exp(-iEt/ℏ), como mostrado, em detalhes na páginas 3 e 4.

Quando mencionamos mecânica quântica, um dos modelos mais tradicionais é o da partícula confinada/aprisionada em uma “caixa”, também conhecido como “partícula em um poço infinito”. Tal modelo prevê uma certa região de comprimento L (“comprimento da caixa”) na qual a função potencial é zero e a partícula pode encontrar-se ali. A partir das “laterais” da caixa, a função potencial é infinita, sendo assim, a partícula pode encontrar-se somente na região dentro da caixa, sendo que a função de onda é nula para x≤0 e x≥L (a partícula não pode existir nestas regiões). As condições previamente impostas são chamadas de condições de fronteira e são as mesmas do caso de ondas estacionárias e, portanto, espera-se que o “comprimento da caixa” L seja dado da mesma forma que no caso das ondas estacionárias, conforme a equação 11, onde λ é o comprimento de onda e n são números inteiros positivos. Dentro da caixa a função potencial é nula e, portanto, a energia total da partícula é igual sua energia cinética. Ao realizarmos as devidas substituições, com as restrições dos possíveis comprimentos de onda, vindas das condições de fronteira, podemos encontrar as energias permitidas para o sistema (a derivação encontra-se disponível nas páginas 5 e 6). Vemos que a energia não pode assumir qualquer valor arbitrário, ela está restringida, quantizada. Para cada valor de n há um nível correspondente de energia. Caso uma partícula ganhe energia suficiente para aumentar seu nível de energia, ela irá transitar para um nível energético superior, digamos que inicialmente ela esteja em um nível n e passe para o nível n+1. Eventualmente a partícula retornará ao nível de energia n, emitindo sua energia previamente ganha na forma de um fóton, com energia igual a (En+1) – (En). Em relação à função de onda para a partícula confinada em uma caixa, esperamos que também seja igual à amplitude de oscilação de uma onda estacionária, fixa em dois pontos (equação 12). Na equação 12, “An” é a chamada constante de normalização, a qual garante que a probabilidade total de se encontrar a partícula seja igual a 100%. Caso queiramos ser mais rigorosos, podemos obter a mesma solução a partir da equação de Schrödinger. Consideremos a solução para uma partícula livre (dentro do poço), mostrada na página 1. Sabemos que em x=0 a partícula não pode existir, logo a função de onda ali também será 0. Ao computarmos Ѱ(0) obtemos: Ѱ(0)=Acos(0)+Bsin(0)=A. Conclui-se então que a constante “A” é zero, dada a condição de que Ѱ(0)=0. Assim: Ѱ(x)=Bsin(kx) (sendo B a constante de normalização).

Há um modelo semelhante ao do poço infinito, porém, o poço quadrado é finito, ou seja, a função potencial não é infinita nas regiões x≤0 e x≥L, então há a chance da partícula “escapar” dos limites da caixa/poço. A função potencial V(x) possui um valor finito para x<0 e x>L e é 0 na região delimitada por 0<x<L. Podemos resolver a equação de Schrödinger nas três regiões para obtermos as soluções, conforme ilustrado nas páginas 7, 8 e 9. Ao obtermos as funções de onda, observamos que, mesmo que a energia da partícula seja inferior ao potencial V (V>E), é possível que a partícula “penetre” a barreira, mesmo que isso seja classicamente proibido. Pensemos primeiro em um contexto da mecânica clássica. Imagine um pêndulo deslocado de sua posição de equilíbrio por um certo ângulo. O pêndulo é então abandonado e, desconsiderando a resistência do ar, espera-se que o pêndulo retorne exatamente na mesma posição que foi abandonado, obedecendo o princípio da conservação de energia. Se nenhuma força for aplicada no pêndulo, este nunca irá retornar a uma altura diferente da qual foi abandonado. Porém, para o caso da mecânica quântica, a partícula pode passar por uma barreira/potencial mesmo que não tenha energia suficiente para fazê-lo. Seria, na analogia clássica, como se o pêndulo fosse capaz de retornar a uma altura maior do que a que inicialmente foi abandonado. Esse estranho fenômeno é chamado de tunelamento quântico. Ao penetrar a barreira, há um decaimento exponencial na probabilidade de penetração da barreira conforme a espessura “a” (dada pela equação 13) da barreira e da raiz quadrada da altura relativa da barreira (V-E), conforme mostrado na página 10, sendo que T é a probabilidade de transmissão através da barreira. Da mesma forma que é possível a partícula atravessar a barreira, é possível que ela seja refletida, o que é de se esperar dentro da mecânica clássica. Portanto, dentro do poço, há a onda que incide na barreira e a onda que é refletida, de modo que a função de onda ali é uma soma das duas ondas (a que incide e a que reflete), sendo assim, a função de onda dentro da caixa é uma superposição de uma onda estacionária e uma onda viajando em direção à barreira. A função de onda, após atravessar a barreira, retoma seu comportamento senoidal. Note que, uma vez que sabemos como calcular a probabilidade de transmissão de uma partícula, torna-se elementar o cálculo da probabilidade de reflexão desta, segundo a matemática da probabilidade. Seja R a probabilidade de reflexão, temos então que T+R=1 (em outras palavras, a partícula será, com certeza, ou transmitida ou refletida, o que resulta em uma probabilidade de 100%).Há outra forma de se calcular R, por meio dos números de onda, conforme mostrado na página 10. O tunelamento é um fenômeno observado constantemente no caso da radiação alpha, onde partículas alpha (compostas por 2 nêutrons e dois prótons) escapam do núcleo atômico mesmo sem ter a energia suficiente para fazê-lo. Um exemplo para o qual tal modelagem pode ser aplicada é para as partículas alfa (emissão alfa), as quais estão inicialmente confinadas no núcleo atômico e, mesmo sem possuírem a energia suficiente, há a possibilidade de que “escapem”, ultrapassando a barreira de potencial (que seria o próprio núcleo atômico).

Um dos modelos mais amplamente utilizados na mecânica quântica, seja por cientistas ou engenheiros, é o modelo do oscilador harmônico. Na mecânica clássica, um oscilador harmônico é comumente associado à um sistema composto por um corpo de massa m e preso à uma mola o qual, quando deslocado de sua posição de equilíbrio, sofre a ação de uma força denominada força restauradora, proporcional ao deslocamento x, como mostrado na equação 14, onde k é a constante elástica. Todavia, são exemplos de osciladores harmônicos quaisquer sistema que sofram pequenas oscilações em torno de suas posições de equilíbrio (para pequenos ângulos, um pêndulo é um exemplo de oscilador harmônico). No caso do sistema massa-mola, sabemos classicamente que a energia potencial elástica é dada conforme a equação 15, podendo ser reescrita em termos da frequência angular do oscilador ω, conforme a equação 16. Com o potencial do oscilador harmônico definido, podemos inserir este na equação de Schrödinger afim de obtermos as soluções desejadas, conforme a equação 17. A equação de Schrödinger para o oscilador harmônico não será resolvida em detalhes por conta de ser necessário desenvolver uma álgebra trabalhosa, o que desviará o foco do artigo. Ao resolvermos a equação de Schrödinger com o potencial do oscilador harmônico, chegamos à quantização de energia do modelo (equações 18 e 19). A energia é quantizada, assim como no caso do poço infinito, isto é, não pode assumir um valor arbitrário. Há, porém, uma particularidade para o oscilador harmônico: os níveis de energia são igualmente espaçados entre si pelo fator h*f (sendo h a constante de Planck e f a frequência). As funções de onda para os níveis do oscilador harmônico são mostradas pela equação 20, sendo Hn um conjunto de funções. Dado os níveis de energia, transições entre estes são possíveis, de modo semelhante ao poço infinito, podendo, portanto, haver emissão de fótons. O modelo quântico do oscilador harmônico pode ser utilizado, por exemplo, em átomos contidos em moléculas como o H2 e o HCl, sendo que os átomos nessas moléculas oscilam em torno de suas posições de equilíbrio.

Até o momento exploramos a equação de Schrödinger para o caso unidimensional, contudo, podemos estendê-la, sem muita dificuldade, para o caso tridimensional. Nas três dimensões, o Laplaciano toma a forma dada pela equação 21, com variações nas três dimensões. A equação de Schrödinger, com o Laplaciano escrito explicitamente, é dada pela equação 22. Para uma partícula livre, a solução da equação de Schrödinger tridimensional pode ser dada pela equação 23. Para o caso do poço quadrado infinito, as condições de fronteira irão estender-se para todas as três variáveis (x,y e z), tal que V(x,y,z)=0 para 0<x<L, 0<y<L e 0<z<L e V(x,y,z)=∞ para x,y,z<0 e para x,y,z>L. Na análise unidimensional, o quadrado da função de onda (indicando a probabilidade de se encontrar a partícula em uma região definida de x até x+dx) é indicada pela equação 24. O mesmo aplica-se para as outras duas dimensões “y” e “z”, indicado pelas equações 25 e 26. Novamente podemos recorrer à teoria matemática da probabilidade, a qual afirma que a probabilidade de que um número “m” de eventos independentes ocorra, é dado pelo produto das probabilidades individuais para que cada evento ocorra. Assim, a probabilidade de se encontrar a partícula em uma região definida de x+dx, y+dy e z+dz é dada pela equação 27. A equação 27 é a densidade probabilística (quadrado do módulo da função de onda), portanto, a função de onda em si será a raiz quadrada da densidade probabilística, como mostrado na equação 28. Podemos também calcular a energia para o caso tridimensional, conforme as páginas 11, 12 e 13.

Existem soluções especiais da equação de Schrödinger, que são muito úteis para ilustrar a movimentação do elétron, chamadas de pacotes de onda. Tais soluções são obtidas por uma combinação linear de soluções de ondas planas, com seus respectivos coeficientes. Os pacotes de onda serão explorados em maiores detalhes futuramente.

Como vimos para diversos modelos, a equação de Schrödinger foi resolvida conforme o Hamiltoniano (operador que representa a energia total do sistema) apropriado. Contudo, como lidamos com sistemas compostos por mais de uma partícula? O Hamiltoniano para um sistema composto por duas partículas de massa m seria dado conforme mostra a equação 29. Para um sistema com N partículas, o hamiltoniano genérico teria a forma da equação 30. Porém deve-se tomar um cuidado especial para sistemas multipartículas, pois temos que levar em consideração a questão de simetria. Na mecânica quântica, funções de onda são ditas simétricas se satisfazem a condição mostrada na equação 31. Os férmions (partículas de spin semi-inteiro, como elétrons e quarks) não apresentam funções de onda simétrica, mas sim antissimétricas, como mostrado na equação 32. Os bósons (partículas de spin inteiro, como os fótons e partículas alfa) possuem funções de onda simétrica, mostrada na equação 31. Detalhes sobre a questão de simetria e do princípio da exclusão de Pauli serão explorados em artigos futuros.

Na mecânica quântica, em especial na teoria quântica de campos, para descrevermos sistemas de partículas que interagem entre si, fazemos o uso de operadores especiais chamados de operadores de aniquilação e de criação. Em suma, o operador de criação, ao atuar em um ket nulo, que é uma representação de um estado sem partícula, “cria” uma partícula nesse estado e este deixa de ser um ket nulo, conforme ilustra a equação 33. O operador de aniquilação possui um efeito oposto, conforme ilustra a equação 34. Apesar do uso de tais operadores poder parecer, a primeira vista, redundante, algumas das relações que eles possuem, como a de anti-comutação, simplifica muito os cálculos.

A equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio possui uma forma mais complicada (equação 35), pois ao invés de utilizarmos coordenadas cartesianas, utilizamos coordenadas polares, a fim de obter os orbitais do átomo. O átomo de hidrogênio será também explorado futuramente.

É destacável o fato da equação de Schrödinger não ser 100% eficiente, apresentando falhas em algumas situações. Como mencionado, mesmo para o elemento mais simples, o hidrogênio, a equação já ganha um aspecto complicado, o que é dificultado ainda mais para elementos mais complexos. A equação falha também para partículas com velocidades relativísticas (frações significativas da velocidade da luz). Todavia, o brilhante Paul Dirac foi capaz de adaptar a equação de Schrödinger de modo que ela concordasse com a relatividade restrita, o que deu origem a chamada equação de Dirac (equação 36). A equação de Dirac foi também capaz de prever a existência da antimatéria.

Antes de Schrödinger, o que se tinha para a descrição de sistemas quânticos era a peculiar mecânica matricial de Werner Heisenberg, a qual era resguardada como “abstrata” por alguns físicos. Posteriormente, a equação de Schrödinger definiu um marco na história da ciência, sendo amplamente aceita dentre os físicos, os quais já estavam familiarizados com a mecânica ondulatória clássica-cuja semelhança foi aqui destacada.

Material de referência:

Quantum Mechanics for Scientists and Engineers (David A. B. Miller) Mecânica quântica moderna (J.J. Sakurai e Jim Napolitano) 50 ideias de física quântica que você precisa conhecer (Joanne Baker) O universo quântico (Brian Cox e Flavio Demberg) Física para cientistas e engenheiros volume 3 (Paul A. Tipler e Gene Mosca)