A equação do foguete (com derivação)

Talvez seja a equação mais conhecida no mundo da engenharia. O nome “equação do foguete” invoca uma relação matemática de posição prepotente. Na realidade, o “nome” da equação é equação de Tsiolkovski, devido ao cientista russo Konstantin Tsiolkovski que a derivou pioneiramente. Mas qual a razão de sua fama e importância?

Antes de apresentarmos a derivação e as características da equação, é importante que entendamos o funcionamento básico por trás da ciência de foguetes. Os foguetes são projetos de engenharia cuja origem remete há centenas de anos, no século XIII, na China. Os primeiros “foguetes” eram senão flechas acionadas por pólvoras, desenvolvidas para o uso militar. Mais tarde, com o desenvolvimento da ciência (principalmente com as leis de Newton), a engenharia de foguetes tornou-se mais desenvolvida (ressalta-se também que os fogos de artifício foram inventados graças a ciência de foguetes no século XVIII). Contudo, foi tão somente no início do século XX que os foguetes (tais quais os conhecemos) começaram a ser desenvolvidos. Como quase toda tentativa de inovação, para alcançar o sucesso falhas tiveram de ser enfrentadas e superadas. Após algumas tentativas, o físico Robert Goddard (considerado o pai dos foguetes modernos) foi bem sucedido em lançar o primeiro foguete americano com combustível líquido (veja a foto 2), no ano de 1937. A partir daí, aperfeiçoamentos no ramo da astronáutica foram sendo realizados, de modo a terem como produto os famosos projetos Mercury, Gemini, e Apollo da NASA (as fotos 3,4 e 5 mostram foguetes pertencentes a cada um dos projetos, respectivamente).

Foto 2

Foto 3

Foto 4

Foto 5

Ok, já conhecemos um pouco da história dos foguetes, voltemos nossa atenção a seus principais sistemas. O sistema estrutural refere-se a estrutura literal do projeto, ou seja, o corpo, nariz e “barbatanas” do foguete (é basicamente o que vemos pela parte de fora). O sistema de propulsão é, não surpreendentemente, o mais importante. Como veremos logo mais nesse artigo, ele constitui cerca de 80-90% do foguete (sim, todo o sistema estrutural enquadra-se em uma pequena parcela da porcentagem restante). De modo extremamente simplificado, o sistema de propulsão é constituído pelos motores, câmaras de combustível e oxidante, e por canais que possibilitem a interação desses meios (como bombas e válvulas). O combustível (consideraremos o hidrogênio líquido) mistura-se com o oxidante (o oxigênio) através de bombas e válvulas, de modo a gerar uma reação de combustão (lembre-se das aulas de química, uma combustão ocorre quando há a junção de um combustível com um comburente) com a queima na câmara de combustão. O gás liberado pela queima é o responsável por fornecer empuxo/propulsão ao foguete (veja a foto 6). O sistema de carga de um foguete é muito variável, dependendo do objetivo da missão. No caso do foguete mais famoso da história, o Saturn V (veja a foto 7), o sistema de carga tinha o objetivo de sustentar a tripulação para a missão exploratória à Lua. Estendendo nosso exemplo, o sistema de carga da Saturn V era composto basicamente pelo Módulo Lunar (a “parte” do foguete que pousou na Lua), o módulo de serviço, ligado à um motor, e o módulo de comando (o qual ficou orbitando a Lua durante a missão da Apollo 11). Veja a foto 8 para acompanhar as seções descritas. O último sistema básico da composição dos foguetes é o sistema de guia, composto pelos computadores de bordo e radares, promovendo estabilidade à espaçonave.

Foto 6

Foto 7

Foto 8

Tendo os componentes básicos de um foguete em mente, podemos agora nos voltar para a equação de Tsiolkovski. Conforme o foguete realiza a queima de seu combustível com o oxigênio para gerar o empuxo, a massa deste é diminuída, uma vez que o gás gerado está sendo expelido do foguete. A equação de Tsiolkovski deve, portanto, considerar este efeito. Veja da foto 9 até a 19 para a derivação da equação em detalhes.

Foto 9

Foto 10

Foto 11

Foto 12

Foto 13

Foto 14

Foto 15

Foto 16

Foto 17

Foto 18

Foto 19

Quais são as conclusões que obtemos a partir da derivação da “equação do foguete?” Novamente, o que a faz tão importante? A simples expressão dada por v_f=v_0+v_E*ln⁡〖(m_f/m_0 )〗 nos diz o quão difícil é tirar um foguete do solo e leva-lo ao espaço. Você já deve ter ouvido sobre o aumento exponencial do transporte espacial. Mesmo que apenas algumas dezenas de quilos sejam adicionados (na composição total dos foguetes, que costumam ter massa na ordem dos milhões de quilos), o preço da missão é elevado consideravelmente. Qual seria o motivo para essa desproporcionalidade? Já adiantamos, não é o preço do suposto combustível extra. Com certas manipulações matemáticas (Veja as fotos 20 e 21), a “equação do foguete” é capaz de mostrar que aproximadamente 90% do foguete é puramente “material explosivo” para gerar o empuxo necessário para que o foguete atinja a órbita desejada. Note que todo o resto que entendemos como “foguete” ou seja, todos os sistemas adicionais (de estrutura física, computadores, até a tripulação e/ou carga), está restringido a parte de meros 10%. Adicionar mais massa implicaria em um aumento desses 10%, o que limitaria o sistema de propulsão, resultando em uma expressiva diminuição do alcance do foguete. Esse delicado balanço entre a “massa de propulsão” (~90% massa total) e a massa restante (~10% massa total) explica a grande dificuldade do transporte espacial e o alto custo envolvido.

Foto 20

Foto 21

Imagine que a gravidade da Terra fosse maior que os aproximados 9.8 m/s^(2). Para um foguete “superar” essa gravidade, ele precisaria de uma velocidade de escape* maior, o que implica na necessidade de mais combustível. Se a porcentagem atual da “ocupação” do sistema de propulsão já é na casa dos 90%, aumentando-a perderemos o espaço dos outros sistemas básicos do foguete (o foguete torna-se um explosivo totalmente) ou pior, mal conseguimos inserir a quantia necessária de combustível e oxidante. Digamos que fomos beneficiados pela massa e raio da Terra (os quais determinam o valor da aceleração da gravidade). A foto 22 mostra o quanto da composição total dos foguetes é “puro explosivo” e o quanto é carga útil (esses dados foram obtidos pela palestra TED do astronauta Don Pettit).

Foto 22

Foto 1: capa Foto 2: foguete bem-sucedido de Robert Goddard em 1937 Fotos 3, 4, e 5: foguetes dos principais projetos da NASA Foto 6: o empuxo de um foguete (thrust=empuxo) Foto 7: Saturn V Foto 8: seções do sistema de carga do Saturn V Fotos 9-19: derivação da “equação do foguete” Fotos 20 e 21: álgebra para a razão de massas Foto 22: quanto do foguete é realmente foguete?

Material de referência: https://www.youtube.com/watch?v=uWjdnvYok4I&t=614s https://www.youtube.com/watch?v=1yBwWLunlOM https://www.explainthatstuff.com/spacerockets.html https://www.youtube.com/watch?v=IQfqB30QgfY https://www.grc.nasa.gov/www/k-12/rocket/rktpow.html http://ftp.demec.ufpr.br/.../curs.../1-Rocket%20Equation.pdf https://www.youtube.com/watch?v=V_brZ-KWY3g